【題目】已知
是橢圓
的兩個焦點，
是橢圓
上一點，當
時，有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過橢圓右焦點
的動直線
與橢圓交于
兩點，試問在
鈾上是否存在與不重合的定點
，使得
恒成立？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在， T（4，0）
【解析】
（1）由題意，
．故
．然后設點
坐標為
，代入橢圓方程，聯立橢圓定義
，進一步計算可得橢圓
的標準方程；
（2）假設存在與
不重合的定點
，使得
恒成立，則
，設出
、
、點坐標代入計算，可得
．然后設直線
．聯立直線與橢圓方程，消去
整理可得一元二次方程，根據韋達定理有
，
．然后代入進行計算可判斷是否是定值，即可得到結論．
解：（1）由題意，．故．
可設點坐標為，則
，解得
，即
．
，解得
．
，
．
橢圓的標準方程為．
（2）由題意，假設存在與不重合的定點，使得恒成立，
設
，
，且
，
，
，
，
，則
，
．
，
，即
．
整理，得．
設直線．
聯立
，
消去，整理得
．
，．
．
．
存在與不重合的定點，使得恒成立，且點坐標為
．
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【題目】已知等比數列
的前n項和為
，且當
時，是
與2m的等差中項
為實數
.
（1）求m的值及數列的通項公式；
（2）令
，是否存在正整數k，使得
對任意正整數n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：
．
（1）求圓O和直線l的直角坐標方程；
（2）當θ∈（0，π）時，求直線l與圓O公共點的極坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
兩點在拋物線
上，
是AB的垂直平分線，
（1）當且僅當
取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論；
（2）若
，弦AB是否過定點，若過定點，求出該定點，若不過定點，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,n
,n
2）,這些球除顏色外全部相同。現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，……，m+n的抽屜內，其中第k次取球放入編號為k的抽屜（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;
（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E(x)是x的數學期望，證明 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著智能手機的發展，各種“APP”（英文單詞Application的縮寫，一般指手機軟件）應運而生．某機構欲對A市居民手機內安裝的APP的個數和用途進行調研，在使用智能手機的居民中隨機抽取100人，獲得了他們手機內安裝APP的個數，整理得到如圖所示頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）從被抽取安裝APP的個數不低于50的居民中，隨機抽取2人進一步調研，求這2人安裝APP的個數都低于60的概率；
（Ⅲ）假設同組中的數據用該組區間的右端點值代替，以本次被抽取的居民情況為參考，試估計A市使用智能手機的居民手機內安裝APP的平均個數在第幾組（只需寫出結論）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在極坐標系中，O為極點，點
在曲線
上，直線l過點
且與
垂直，垂足為P.
（1）當
時，求
及l的極坐標方程；
（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.
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