Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2sin$\frac{x}{2}$）．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\sqrt{3}$，
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)中的恒等變換可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）即可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]⇒$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]的最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinx-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$
=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：
f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）  …（6分）
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∵$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤π，
∴0≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，∴f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值為0…（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．