Question

16．如圖，△ABC是圓O的內接三角形，P是BA的延長線上一點，且PC切圓O于點C．
（1）求證：AC•PC=PA•BC；
（2）若PA=AB=BC，且PC=4，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）PC為圓O的切線，則∠PCA=∠PBC，由∠CPA=∠BPC，△CAP～△BCP，$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$，AC•PC=PA•BC；
（2）設PA=x（x＞0），則AB=BC=x，切割線定理可得，PA•PB=PC²，解得：$x=2\sqrt{2}$，則$PA=BC=2\sqrt{2}$，$4AC=2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，即可求得AC=2．

解答 解：（1）∵PC為圓O的切線，
∴∠PCA=∠PBC，
又∵∠CPA=∠BPC，
∴△CAP～△BCP，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$，
即AC•PC=PA•BC．
（2）設PA=x（x＞0），則AB=BC=x，
由切割線定理可得，PA•PB=PC²，
∴x•2x=4²，
解得：$x=2\sqrt{2}$或$x=-2\sqrt{2}$（舍），
∴$PA=BC=2\sqrt{2}$，
由（1）知，AC•PC=PA•BC，
∴$4AC=2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，
∴AC=2．

點評 本題考查圓的切線性質，考查相似三角形的性質，切割線定理應用，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于中檔題．