Question

6．設函數f（x）=sin2x+a（1+cosx）-2x在x=$\frac{5π}{6}$處取得極值．
（1）若f（x）的導函數為f'（x），求f'（x）的最值；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據函數在x=$\frac{5π}{6}$處取得極值，求出a的值，從而求出函數的單調區間，求出函數的最值即可；
（2）求出函數的在閉區間的單調性，求出函數的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2cos2x-asinx-2，
∵f（x）在x=$\frac{5π}{6}$處取得極值，
∴f′（$\frac{5π}{6}$）=1-$\frac{1}{2}$a-2=0，解得：a=-2，
∴f′（x）=-4${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，
∴sinx=$\frac{1}{4}$時，f′（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
sinx=-1時，f′（x）取得最小值-6；
（2）由f′（x）=-4sin²x+2sinx≥0，解得：0≤sinx≤$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，π]，∴x∈[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$．π]時，f′（x）≥0，
x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]遞增，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]遞減，在[$\frac{5π}{6}$．π]遞增，
∵f（0）=-4，f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}-12-10π}{6}$＜$\frac{-12-12}{6}$，
∴f（x）的最小值是f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}-12-10π}{6}$，
∵f（$\frac{π}{6}$）=-2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$，f（π）=-2π＜-4＜f（$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最大值是f（$\frac{π}{6}$）=-$\frac{12+3\sqrt{3}+2π}{6}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．