Question

12．如圖所示，在三棱錐PABQ中，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．求證：
（1）求證：AB∥GH．
（2）若三棱錐P-ABQ為正四面體，且棱長為2，求多面體ADGE-BCHF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出EF∥AB，DC∥AB．從而EF∥DC．進而EF∥平面PCD．再求出EF∥GH，由此能證明AB∥GH．
（2）設正四面體三棱錐P-ABQ的體積為V，由${V_{ADGE-BCHF}}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V$，能求出多面體ADGE-BCHF的體積．

解答 證明：（1）∵D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，
∴EF∥AB，DC∥AB．∴EF∥DC．
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，
∴EF∥GH．又EF∥AB，∴AB∥GH．
解：（2）設正四面體三棱錐P-ABQ的體積為V，
則V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{3}\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵${V_{P-EFQ}}=\frac{1}{4}V，{V_{Q-CDGH}}=\frac{5}{36}V$，
∴${V_{ADGE-BCHF}}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V=\frac{11}{18}V=\frac{{11\sqrt{2}}}{27}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查兩個三棱錐的體積之比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．