Question

20．已知函數f（x）=3^x，g（x）=$\frac{{1-{a^x}}}{{1+{a^x}}}$（a＞1）．
（1）若f（a+2）=81，求實數a的值，并判斷函數g（x）的奇偶性；
（2）用定義證明：函數g（x）在R上單調遞減；
（3）求函數g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的解析式，求出a的值，從而求出g（x）的解析式，判斷函數的奇偶性即可；
（2）根據函數單調性的定義證明即可；
（3）根據1+a^x∈（1，+∞），從而得到$\frac{2}{{1+{a^x}}}∈（0，2）$，求出g（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3^x，
∴f（a+2）=3^a+2=81，解得a=2．
∵$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$（x∈R），
∴$g（-x）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$，
即函數g（x）是奇函數．
證明：（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{1-{a^{x_1}}}}{{1+{a^{x_2}}}}-\frac{{1-{a^{x_2}}}}{{1+{a^{x_2}}}}$
=$\frac{{（1-{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）-（1-{a^{x_2}}）（1+{a^{x_1}}）}}{{（1+{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）}}=\frac{{2（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）}}{{（1+{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）}}$．
∵x₁＜x₂，a＞1，
∴${a^{x_2}}-{a^{x_1}}＞0$，$（1+{a^{x_1}}）（1+{a^{x_2}}）＞0$，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（x₂），
故函數g（x）在R上單調遞減．
解：（3）∵$g（x）=\frac{{1-{a^x}}}{{1+{a^x}}}=\frac{2}{{1+{a^x}}}-1$，x∈R，
∴1+a^x∈（1，+∞），
從而$\frac{2}{{1+{a^x}}}∈（0，2）$，
∴g（x）∈（-1，1）
故函數g（x）的值域為（-1，1）

點評 本題考查了函數的奇偶性問題，考查定義判斷函數的單調性，考查求函數的值域問題，是一道中檔題．