Question

設雙曲線C：-y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且•=1，求點T的坐標；
（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；
（3）過點F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設=λ•，若λ∈[-2，-1]，求|+|（T為（1）中的點）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P、Q的坐標，求得向量的坐標，利用=1，P（x，y）在雙曲線上，即可求得結論；
（2）利用三點共線建立方程，利用P（x，y）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；
（3）用坐標表示，利用韋達定理，求得模長，從而可得函數關系式，進而可求其范圍．
解答：解：（1）由題，得A₁（-，0），A₂（，0），
設P（x，y），Q（x，-y），則，
由=1，可得 …①
又P（x，y）在雙曲線上，則   …②
聯立①、②，解得x=±2  
由題意，x＞0，∴x=2
∴點T的坐標為（2，0）
（2）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）
由A₁、P、M三點共線，得   …③
由A₂、Q、M三點共線，得   …④
聯立③、④，解得x=，y= 
∵P（x，y）在雙曲線上，∴
∴軌跡E的方程為（x≠0，y≠0）
（3）由題意直線l的斜率不為0．故可設直線l的方程為x=ky+1代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數的關系，得y₁+y₂=  …⑤y₁y₂=  …⑥
∵，∴有（λ＜0）
將⑤式平方除以⑥式，得，即
由λ∈[-2，-1]，可得
∴，∴
∵=（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-+
令t=，∵，∴，即t∈[，]
∴=f（t）=8t²-28t+16=8（t-）²-
而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]
∴|+|∈[2，]．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．