Question

21.設雙曲線C:－y²=1（a＞0）與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B.

（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

（Ⅱ）設直線l與y軸的交點為P，且=，求a的值.

Answer 1

21.本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.

　解：（Ⅰ）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組

有兩個不同的實數解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0.                                  ①

所以

解得0＜a＜且a≠1.

雙曲線的離心率e==,

∵0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠,

即離心率e的取值范圍為（，）∪（，+∞）.

（Ⅱ）設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,P（0,1）,

∵=,

∴（x₁,y₁－1）= （x₂,y₂－1）.