Question

22.設(shè)雙曲線C:－y²=1（a＞0）與直線l: x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.

（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且=，求a的值.

Answer 1

22.本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.

解：（Ⅰ）由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0.                                                                     ①

所以

解得0＜a＜且a≠1.

雙曲線的離心率e==,

∵0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠,

即離心率e的取值范圍為（，）∪（，+∞）.

（Ⅱ）設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,P（0,1）,

∵=,

∴（x₁,y₁－1）= （x₂,y₂－1）.

由此得x₁=x₂,

由于x₁，x₂都是方程①的根，且1－a²≠0,

所以x₂=－,x=－.

消去x₂，得－=,

由a＞0，所以a=.