Question

函數f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

）•sin2x在區間[-3，3]上的零點的個數為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：在區間[-3，3]上，y=sin2x的零點為0，±

π

2

，當x=-1時，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

為零，即可得出結論．

解答： 解：在區間[-3，3]上，y=sin2x的零點為0，±

π

2

，
令g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

，
則g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
當x=-1時，g′（x）＞0；
當x≠-1時，在區間[-3，3]上，g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=

1-(-x)2015

1+x

=

1+x2015

1+x

＞0恒成立，
∴函數是單調遞增函數，
當x→+∞時，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→+∞，當x→-∞時，1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

-

x2014

2014

+

x2015

2015

→-∞，故有一個零點，
故共有4個零點，
故答案為B．

點評：本題考查函數的零點，考查學生的計算能力，比較基礎．