Question

【題目】已知橢圓G：的右焦點為F，過F的直線l交橢圓于A、B兩點，直線與l不與坐標軸平行，若AB的中點為N，O為坐標原點，直線ON交直線x＝3于點M.

（1）求證：MF⊥l；

（2）求的最大值，

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意的方程可得右焦點F的坐標，由題意設直線l的方程與橢圓聯立可得兩根之和，求出AB的中點N的坐標，進而可得直線ON的斜率，求出直線ON的方程，令x＝3可得M的縱坐標，即求出M的坐標，求出直線MF的斜率可證得與直線l的斜率互為負倒數，所以可證得MF垂直直線l；

（2）由（1）MF，AB的值，求出兩者之比，由均值不等式可得的最大值.

（1）由橢圓的方程開發右焦點F的坐標（2，0），

有題意設直線AB的方程為x＝my+2，設A（x1，y2），B（x2，y2），

整理可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，y1+y2，y1y2，

所以AB的中點N的縱坐標yN，代入直線AB的方程可得N的橫坐標xN2，即N（，），

所以kON，

所以直線ON的方程為：yx，令x＝3，所以y＝﹣m，

即M（3，﹣m），

所以kMFm，而，所以kMF＝﹣1，

所以MF⊥l；

（2）由（1）可得|MF|，

|AB||y1﹣y2|，

所以，當且僅當，即m＝±1時取等號.

所以的最大值為.