Question

【題目】（本小題滿分12分）設各項均為正數的等比數列中，

（1）求數列的通項公式；

（2）若，求證： ；

（3）是否存在正整數，使得對任意正整數均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的最大值為4

【解析】

試題分析：（1）設出等比數列的公比，運用等比數列的通項公式，解得首項和公比，再由對數的運算性質即可得通項公式．

本題是求數列的前項和的范圍，求和方法有很多種，本題中運用累加法求得，再由錯位相減法求和，即可得證．

（3）假設存在正整數，令，判斷其單調性，進而得到最小值，解不等式即可得出的取值范圍．

試題解析：（1）設數列的公比為，

由題意有

，

∴．

（2），

當時，

相減整理得：

故．

（3）令

，

∴．

∴數列單調遞增，

由不等式恒成立得：，

∴．

故存在正整數，使不等式恒成立，的最大值為4