Question

在△ABC中，已知AB=6，B=60°，cos（B+C）=-

2 7

7

，若D為△ABC外接圓劣弧

A

C

上的動點．
（1）求sinC；
（2）求△ACD的面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（1）由已知先求得cosA=

2 7

7

，sinA=

21

7

，從而可求sinC的值．
（2）∵由正弦定理先解得：AC=3

7

，由余弦定理可得：AD•DC≤21，從而求得△ACD的面積的最大值．

解答： 解：（1）∵cos（π-A）=-cosA=cos（B+C）=-

2 7

7

，0＜A＜π
∴cosA=

2 7

7

，sinA=

1-cos2A

=

21

7

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

21

7

×

1

2

+

2 7

7

×

3

2

=

2 21

14

．
（2）∵由正弦定理知：

AC

sinB

=

AB

sinC

=

AC

3 2

=

6

2 21 14

∴解得：AC=3

7

，
∵∠ADC=π-∠B=120°由余弦定理可得：cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

，即有-

1

2

=

AD2+DC2-63

2AD•DC

∴整理可得：63=AD²+DC²+AD•DC
∴63≥3AD•DC
∴AD•DC≤21，
∴S_△ADC=

1

2

AD•DC•sin120°=

3

4

×AD×DC≤

3

4

×21=

21 3

4

．

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理的綜合應用，屬于基本知識的考查．