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【題目】Monte-Carlo方法在解決數學問題中有廣泛的應用．下面利用Monte-Carlo方法來估算定積分．考慮到等于由曲線，軸，直線所圍成的區域的面積，如圖，在外作一個邊長為1正方形OABC．在正方形OABC內隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為，此即為定積分的估計值．現向正方形OABC中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數目．

（1）求X的期望和方差；

（2）求用以上方法估算定積分時，的估計值與實際值之差在區間（-0.01，0.01）的概率．

附表：

	1899	1900	1901	2099	2100	2101
	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

【答案】（1）；（2）0.9871.

【解析】

（1）利用定積分求出曲邊梯形的面積得到每個點落入的概率，再利用二項分布求出隨機變量的期望和方差.

（2）所求概率為，利用表中數據可得結果.

(1)依題意，每個點落入中的概率為，，

所以.

(2)依題意，所求概率為

練習冊系列答案

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【題目】下列命題正確的是

（1）命題“，”的否定是“，”；

（2）l為直線，，為兩個不同的平面，若，，則；

（3）給定命題p，q，若“為真命題”，則是假命題；

（4）“”是“”的充分不必要條件．

A. （1）（4）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（3）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】小明家的晚報在下午任何一個時間隨機地被送到，他們一家人在下午任何一個時間隨機地開始晚餐．為了計算晚報在晚餐開始之前被送到的概率，某小組借助隨機數表的模擬方法來計算概率，他們的具體做法是將每個1分鐘的時間段看作個體進行編號，編號為01，編號為02，依此類推，編號為90．在隨機數表中每次選取一個四位數，前兩位表示晚報時間，后兩位表示晚餐時間，如果讀取的四位數表示的晚報晚餐時間有一個不符合實際意義，視為這次讀取的無效數據（例如下表中的第一個四位數7840中的78不符合晚報時間）．按照從左向右，讀完第一行，再從左向右讀第二行的順序，讀完下表，用頻率估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率為　　

7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 4052

4201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655

A.B.C.D.

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【題目】新鮮的荔枝很好吃，但摘下后容易變黑，影響賣相.某大型超市進行扶貧工作，按計劃每年六月從精準扶貧戶中訂購荔枝，每天進貨量相同且每公斤20元，售價為每公斤24元，未售完的荔枝降價處理，以每公斤16元的價格當天全部處理完.根據往年情況，每天需求量與當天平均氣溫有關.如果平均氣溫不低于25攝氏度，需求量為公斤；如果平均氣溫位于攝氏度，需求量為公斤；如果平均氣溫位于攝氏度，需求量為公斤；如果平均氣溫低于15攝氏度，需求量為公斤.為了確定6月1日到30日的訂購數量，統計了前三年6月1日到30日各天的平均氣溫數據，得到如圖所示的頻數分布表：

平均氣溫
天數	2	16	36	25	7	4

（Ⅰ）假設該商場在這90天內每天進貨100公斤，求這90天荔枝每天為該商場帶來的平均利潤（結果取整數）；

（Ⅱ）若該商場每天進貨量為200公斤，以這90天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天該商場不虧損的概率.

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【題目】一個車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗．測得的數據如下：

零件數x（個）	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
加工時間y（分）	62	68	75	81	89	95	102	108	115	122

（1）y與x是否具有線性相關關系？

（2）如果y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程；

（3）根據求出的回歸直線方程，預測加工200個零件所用的時間為多少？

附:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.

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【題目】已知函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明:；

（3）求證：對任意的，都有：，(其中為自然對數的底數)。

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【題目】為選拔選手參加“中國詩詞大會”，某中學舉行一次“詩詞大賽”活動.為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進行統計.按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數據）.

（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中、的值；

（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生參加“中國謎語大會”，設隨機變量表示所抽取的2名學生中得分在內的學生人數，求隨機變量的分布列及數學期望.

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【題目】全國大學生機器人大賽是由共青團中央，全國學聯，深圳市人民政府聯合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創的機器人競技平臺.全國大學生機器人大賽比拼的是參賽選手們的能力，堅持和態度，展現的是個人實力以及整個團隊的力量.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰隊踴躍報名，這些參賽戰隊來自全國六大賽區，150余所高等院校，其中不乏北京大學，清華大學，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內頂尖高校，經過嚴格篩選，最終由111支機器人戰隊參與到2015年全國大學生機器人大賽的激烈角逐之中，某大學共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為挑選優秀團隊，現用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊.

（1）應從大三抽取多少個團隊？

（2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分數如下：

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140

從甲、乙兩組中選一組強化訓練，備戰機器人大賽.

（i）從統計學數據看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？

（ii）從乙組中不低于140分的團隊中任取兩個團隊，求至少有一個團隊為144分的概率.

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【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖4①，②，③，④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．