Question

19．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y＞0}\end{array}\right.$，且z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的幾何意義，即向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OP}$夾角的余弦值的$\sqrt{5}$倍求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y＞0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

設A（2，1），可行域內的動點P（x，y），
則cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{5}}$．
z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{5}•\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{5}}$．
其幾何意義為向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OP}$夾角的余弦值的$\sqrt{5}$倍，
∴當P與A重合時，z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$有最大值為$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是難題．