Question

【題目】已知是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，的重心為．

（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)（1）中的軌跡與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)直線與軸相交時，令交點(diǎn)為，求四邊形的面積最小時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意列出所滿足的式子，再消去參數(shù)即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，將四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，求得其最小值以及對應(yīng)的值即可求解.

（1）焦點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)

聯(lián)立，消去得，，設(shè)，，，

則，，∴，

∴，消去，得重心的軌跡方程為；（2）由已知及（1）知，

，，，，，∵，∴，

(注：也可根據(jù)斜率相等得到)，

，，點(diǎn)到直線

的距離，∴四邊形的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時四邊形的面積最小，

所求的直線的方程為.