Question

【題目】設F1、F2分別為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，點A為橢圓C的左頂點，點B為橢圓C的上頂點，且|AB|＝，△BF1F2為直角三角形．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線y＝kx+2與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求實數k的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

（1）利用勾股定理a2+b2＝3，利用焦點三角形為直角三角形可知b＝c，結合b2+c2＝a2可求出，進而可得橢圓C的方程；

（2）聯立直線與橢圓方程，可得關于x的一元二次方程，利用直線與橢圓有交點可知，結合韋達定理及OP⊥OQ，轉化為向量數量積為零，計算即得結論．

（1）由題可知，所以a2+b2＝3，因為△BF1F2為直角三角形，所以b＝c，

又b2+c2＝a2，所以，所以橢圓方程為：．

（2）由，得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，

由△＝（8k）2﹣4（1+2k2）6＞0，得：，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則有 ，

因為OP⊥OQ，所以

＝，

所以k2＝5，滿足，所以．