Question

【題目】已知有窮數列，，，，．若數列中各項都是集合的元素，則稱該數列為數列．對于數列，定義如下操作過程：從中任取兩項，，將的值添在的最后，然后刪除，，這樣得到一個項的新數列（約定：一個數也視作數列）．若還是數列，可繼續實施操作過程，得到的新數列記作，，如此經過次操作后得到的新數列記作．

（1）設，，請寫出的所有可能的結果；

（2）求證：對于一個項的數列操作總可以進行次；

（3）設，，，，，，，，，求的可能結果，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；，；，．；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）直接按定義來操作，每次取兩個數代入計算即可求出的所有可能的結果；

（2）先通過作差得到每次操作后新數列仍是數列；再根據每次操作中都是增加一項，刪除兩項即可得到結論；

（3）先定義運算：，并證明這種運算滿足交換律和結合律；再結合（2）可知中僅有一項，再按定義先求出，綜合即可得到的可能結果．

（1）直接按定義來操作，當取0，時代入計算可得：，；

當取0，時可得，；

當取，時，可得，．

故有如下的三種可能結果：，；，；，．

（2）因為對，，有

且

所以，即每次操作后新數列仍是數列．

又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，

所以對數列每操作一次，項數就減少一項，

所以對項的數列可進行次操作（最后只剩下一項）.

（3）由（2）可知中僅有一項．

對于滿足，的實數，定義運算：，

下面證明這種運算滿足交換律和結合律．

因為，且，所以，即該運算滿足交換律；

因為

且

所以，即該運算滿足結合律．

所以中的項與實施的具體操作過程無關，

選擇如下操作過程求

由（1）可知；

易知，，，；

所以，0，0，0，0；

易知經過4次操作后剩下一項為．

綜上可知：．