Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，點E，F分別在，，且，.設.

（1）當時，求異面直線與所成角的大小；

（2）當平面平面時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）60°（2）

【解析】

（1）推導出平面ABC，AC，建立分別以AB，AC，為軸的空間直角坐標系，利用法向量能求出異面直線AE與所成角．
（2）推導出平面的法向量和平面的一個法向量，由平面平面，能求出的值．

解：因為直三棱柱，

所以平面，

因為平面，

所以，，

又因為，

所以建立分別以，，為軸的空間直角坐標系.

（1）設，則，，

各點的坐標為，，，.

，.

因為，，

所以.

所以向量和所成的角為120°，

所以異面直線與所成角為60°；

（2）因為，，

，

設平面的法向量為，

則，且.

即，且.

令，則，.

所以是平面的一個法向量.

同理，是平面的一個法向量.

因為平面平面，

所以，

，

解得.

所以當平面平面時，.