Question

【題目】已知函數，，．

（1）若存在極小值，求實數a的取值范圍；

（2）若的極大值為，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求導，令，則，得在上單調遞減，在上單調遞增，，由題意得按，分類討論，計算實數a的取值范圍即可；

（2）由（1）知，的極大值為，，令，求導得在上單調遞增，即可證得.

（1）由題意得，令，則．

∴當時，得，當時，得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，且，，，，∴．

①當，即時，，于是在上是增函數，

從而在上無極值．

②當，即時，存在，使得，

且當時，，在上是單調遞增；

當時，，在上是單調遞減；

當時，，在上是單調遞增，

故是在上的極小值．

綜上，．

（2）由（1）知，的極大值為．

又，，

令，，則，

在區間上單調遞增，，.