Question

【題目】已知函數f（x）= （其中e是自然對數的底數，a∈R）． （Ⅰ）若曲線f（x）在x=l處的切線與x軸不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，f′（x）= ， f′（1）=0，且曲線f（x）在x=1處的切線方程為y= ，
∵切線與x軸不平行，故切線與x軸重合，∴ ，即a=﹣1；
（Ⅱ）f′（x）= ，
設h（x）= ，則h′（x）=﹣2x+（2﹣a）+ ．
h′（x）在（0，1]上是減函數，從而h′（x）＞h′（1）=2﹣a．
①當2﹣a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區間（0，1）上為增函數．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴f（x）在（0，1]上是減函數．
∴a≤2滿足題意；
②當2﹣a＜0，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x1 ，
則h（x）在（0，x1）上遞增，在（x1 ， 1）上遞減．
又∵h（1）=0，∴h（x1）＞0．
又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a﹣ea＜0，
∴h（x）在（0，1）內由唯一一個零點x′，
當x∈（0，x′）時，h（x）＜0，當x∈（x′，1）時，h（x）＞0．
從而f（x）在（0，x′）上遞減，在（x′，1）上遞增，與在區間（0，1]上是單調函數矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜上，a的最大值為2．
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，可得f′（1）=0，得到曲線f（x）在x=1處的切線方程為y= ，結合切線與x軸不平行，可得 ，從而求得a值；（Ⅱ）由f′（x）= ，設h（x）= ，求出h′（x），可知h′（x）在（0，1]上是減函數，從而h′（x）＞h′（1）=2﹣a． 然后分當2﹣a≥0，和2﹣a＜0分類研究函數的單調性得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．