Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（7，12）．
（1）求雙曲線(xiàn)C與其漸近線(xiàn)的方程；
（2）若斜率為1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為 ，半焦距為c，

則c=2， ，a=1，

所以b2=c2﹣a2=3，

故雙曲線(xiàn)C的方程為 ．

雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為

（2）解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+t，將其代入方程 ，

可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0（*）

△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1，x2是方程（*）的兩個(gè)根，所以 ，

又由 ，可知x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得 ，

故﹣（t2+3）+t2+t2=0，解得 ，

所以直線(xiàn)l方程為

【解析】（1）設(shè)出雙曲線(xiàn)C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線(xiàn)方程與漸近線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+t，將其代入方程 ，通過(guò)△＞0，求出t的范圍，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達(dá)定理，通過(guò)x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直線(xiàn)方程．