Question

【題目】若關于x的不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e為自然對數的底數）在R上恒成立，則（a+1）b的最大值為（ ）
A.e+1
B.e+
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e為自然對數的底數）在R上恒成立，令f（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，則f（x）≥0在R上恒成立．只需要f（x）min≥0即可．
f′（x）=ex﹣（a+1）
令f′（x）=0，
解得x=ln（a+1），（a＞﹣1）
當x∈（﹣∞，ln（a+1））時，f′（x）＜0，則f（x）時單調遞減．
當x∈（ln（a+1），+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）時單調遞增．
故x=ln（a+1）時，f（x）取得最小值
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
那么：（a+1）2[1﹣ln（a+1）]≥b（a+1）
令（a+1）=t，（t＞0）
則現求g（t）=t2﹣t2lnt的最大值．
g′（t）=
令g′（t）=0，解得：t=
得極大值為g（ ）=
∴（a+1）b的最大值為 ．
故選C．