Question

如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形.

(1)若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當水渠側邊的傾斜角Φ為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最小？

(2)若被水浸濕的水渠側邊和水渠底面邊長都等于a，當水渠側邊傾斜角Φ多大時，水流的橫斷面積為最大？

Answer 1

解：(1)依題意，側邊BC=h·(sinΦ)^-1,設下底AB=x，則上底CD=x+2hcotΦ,

又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,

∴下底x=-hcotΦ,

∴橫斷面被水浸濕周長

l=(0＜Φ＜).

∴l′_Φ=

令l′_Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.

根據實際問題的意義，當Φ=時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最小.

(2)設水渠高為h，水流橫斷面積為S,則

S=(a+a+2acosΦ)·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ=a²(1+cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜).

∴S′=a²［-sin²Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a²(2cosΦ-1)(cosΦ+1).

令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍)，故在(0,)內，當Φ=時，水流橫斷面積最大，最大值為S=a²(1+cos)sin=a².