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如圖所示,水渠橫斷面為等腰梯形.

(1)若渠中流水的橫斷面積為S,水面的高為h,當水渠側邊的傾斜角φ為多大時,才能使橫斷面被水浸濕的周長為最小?

(2)若被水浸濕的水渠側邊和水渠底面邊長都等于a,當水渠側邊傾斜角φ多大時,水流的橫斷面積為最大?

答案:
解析:

  答案:(1)依題意,側邊BC=h·(sinφ)-1,設下底AB=x,

則上底CD=x+2hcotφ

  又S=(2x+2hcotφ)h=(x+hcotφ)h

  ∴下底x=hcotφ

  ∴橫斷面被水浸濕周長l(0<φ).

  ∴

  令=0,解得cosφ,∴φ

  根據實際問題的意義,當φ時,水渠橫斷面被水浸濕的周長最小.

  (2)設水渠高為h,水流橫斷面積為S,則

  S=(a+a+2acosφ)·h=(2a+2acosφ)·acosφ

  =a2(1+cosφ)·sinφ(0φ).

  ∴=a2[-sin2φ+(1+cosφ)cosφ]=a2(2cosφ1)(cosφ+1).

  令=0,得cosφcosφ=-1(舍),

  故在(0,)內,當φ時,水流橫斷面積最大,

  最大值為S=a2(1+cos)sin

  思路解析:分析各已知條件之間的關系,借助圖形的特征,合理選擇這些條件間的聯系方式,適當選定變元,構造相應的函數關系,通過求導的方法或其他方法求出函數的最小值.


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:同步題 題型:解答題

如圖所示,水渠橫斷面為等腰梯形,若渠中的橫斷面積為S,水面的高為h,當水渠側邊的傾斜角θ為多大時,才能使橫斷面被水浸濕的周長最小?

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,水渠橫斷面為等腰梯形.

(1)若渠中流水的橫斷面積為S,水面的高為h,當水渠側邊的傾斜角Φ為多大時,才能使橫斷面被水浸濕的周長為最小?

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