Question

如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形.

（1）若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當水渠側邊的傾斜角φ為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最小？

（2）若被水浸濕的水渠側邊和水渠底面邊長都等于a，當水渠側邊傾斜角φ多大時，水流的橫斷面積為最大？

Answer 1

解：（1）依題意,側邊BC=h·（sinφ）^-1,設下底AB=x,則上底CD=x+2hcotφ,?

又s=（2x+2hcotφ）h=（x+hcotφ）h,?

∴下底x=-hcotφ,?

∴橫斷面被水浸濕周長l=+（-hcotφ）=-+（0＜φ＜）.?

∴l′_φ=+.

令l′_φ=0，解得?

 cosφ=,∴φ=.?

根據實際問題的意義，當φ=時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最小.

（2）設水渠高為h,水流橫斷面積為S,則?

S=（a+a+2acosφ）·h=（2a+2acosφ）·asinφ=a²（1+cosφ）·sinφ（0＜φ＜）.

∴S′=a²［-sin²φ+（1+cosφ）cosφ］?

=a²（2cosφ-1）（cosφ+1）.

令S′=0，得cosφ=或cosφ=-1（舍），故在（0,）內，當φ=時，水流橫斷面積最大，最大值為

S=a²（1+cos）sin=a².