Question

某城市有一條公路自西向東通過市中心O后轉向東北方向OB,現要修建一條鐵路L,并在OA上設一站A,在OB上設一站B,鐵路在AB部分為直線段,現要求市中心O與AB的距離為10 km,問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短,并求出最短距離.

Answer 1

解:在△AOB中,設OA=a,OB=b,

∵AO為正東方向,OB為東北方向,

∴∠AOB=135°.

∴|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab.

    又O到AB的距離為10,

    設∠OAB=α(0°＜α＜45°),

    則∠OBA=45°-α.

∴a=,b=.∴|AB|²=++··=

100·=

==.

∴0°＜α＜45°,

∴45°＜2α+45°＜135°.

∴＜sin(2α+45°)≤1.

∴|AB|²≥=400(+1)²(當且僅當α=22.5°時取等號).

∴|AB|_min=20(+1).

    此時,a=b==10,

即當A、B離O點均為10 km時,能使|AB|最短.其最短距離為20(+1) km.