Question

某城市有一條公路，自西向東經過A點到市中心O點后轉向東北方向OB，現要修建一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短？并求其最短距離．

Answer 1

分析：設OA=a，OB=b．進而根據題意求得∠AOB，則利用余弦定理求得AB的范圍，進而表示出三角形的面積求得ab和AB的關系，進而判斷出把A、B分別設在公路上離中心O能使|AB|最短．

解答：解：在△AOB中，設OA=a，OB=b．
因為AO為正西方向，OB為東北方向，
所以∠AOB=135°．
則|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+

2

ab
≥2ab+

2

ab=（2+

2

）ab，
又

1

2

•|AB|•10=

1

2

absin1350，
∴ab=10

2

|AB|，
∴|AB|2≥10

2

(2+

2

)|AB|，
∴|AB|≥20(

2

+1)，
當a=b=10

4+2 2

時，取等號
所以把A、B分別設在公路上離中心O都是10

4+2 2

Km才能使|AB|最短，
其最短距離為20(

2

+1)Km．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解題的關鍵是求得ab和AB的關系．