Question

某城市有一條公路,自西向東經過A點到市中心O點后轉向東北方向OB,現要修建一條鐵路L,L在OA上設一站A,在OB上設一站B,鐵路在AB部分為直線段,現要求市中心O與AB的距離為10 km,問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計算)

Answer 1

解：在△AOB中,設OA=a,OB=b.

    因為AO為正西方向,OB為東北方向,

    所以∠AOB=135°.

    則|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab≥2ab+ab=(2+)ab,當且僅當a=b時,“=”成立.又O到AB的距離為10,設∠OAB=α,則∠OBA=45°-α.所以

    a=,b=,

    ab=·=

    =

    =

    =≥,

    當且僅當α=22°30′時,“=”成立.

    所以|AB|²≥=400(+1)²,

    當且僅當a=b,α=22°30′時,“=”成立.

    所以當a=b==10時,|AB|最短,其最短距離為20(+1),即當AB分別在OA、OB上離O點10 km處,能使|AB|最短,最短距離為20(-1).