【題目】已知實數
，
是函數
的兩個零點.
（1）求實數a的取值范圍；
（2）證明：
.
【答案】（1）
.（2）見解析
【解析】
（1）先求導數，根據導函數零點確定函數單調區間，根據單調性確定有兩個零點的必要條件，再利用零點存在定理說明時有且僅有兩個零點；
（2）不妨設
，并構造
，利用導數證明其單調遞增，結合
可得
，最后根據
單調性得結果.
（1）
，當
時，
，當
時，
，
即在
內單調遞減，在
內單調遞增，
要使有兩個零點，必須
，即，
當時，
，故存在
使得
，
構造函數
，則
，當
時，
，當
時，
，
即
在
內單調遞減，在
內單調遞增，則
，即
，
則
，故存在
使得
，
結合的單調性可知，當時，在R上有且僅有兩個零點，綜上.
（2）證明：由（1）不妨設，構造，
，故
在R上單調遞增，又
，
故當時，
，即
，取
得
，
因為，所以，因為在內單調遞減，
所以
，所以
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】由我國引領的5G時代已經到來，5G的發展將直接帶動包括運營、制造、服務在內的通信行業整體的快速發展，進而對
增長產生直接貢獻，并通過產業間的關聯效應和波及效應，間接帶動國民經濟各行業的發展，創造岀更多的經濟增加值.如圖是某單位結合近年數據，對今后幾年的5G經濟產出所做的預測.結合下圖，下列說法正確的是（ ）
A.5G的發展帶動今后幾年的總經濟產出逐年增加
B.設備制造商的經濟產出前期增長較快，后期放緩
C.設備制造商在各年的總經濟產出中一直處于領先地位
D.信息服務商與運營商的經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過
的直線
與拋物線
交于
，
兩點，以，兩點為切點分別作拋物線
的切線
，
，設與交于點
.
（1）求
；
（2）過
，
的直線交拋物線于
，
兩點，證明：
，并求四邊形
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國南北朝時期數學家、天文學家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異也”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的兩截面面積都相等，則兩幾何體體積相等.已知某不規則幾何體與如圖三視圖所對應的幾何體滿足祖暅原理，則該不規則幾何體的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在衡陽市“創全國文明城市”（簡稱“創文”）活動中，市教育局對本市A，B，C，D四所高中學校按各校人數分層抽樣，隨機抽查了200人，將調查情況進行整理后制成下表：
學校 | A | B | C | D |
抽查人數 | 10 | 15 | 100 | 75 |
“創文”活動中參與的人數 | 9 | 10 | 80 | 49 |
假設每名高中學生是否參與“創文”活動是相互獨立的
（1）若本市共8000名高中學生，估計C學校參與“創文”活動的人數；
（2）在上表中從A，B兩校沒有參與“創文”活動的同學中隨機抽取2人，求恰好A，B兩校各有1人沒有參與“創文”活動的概率；
（3）在隨機抽查的200名高中學生中，進行文明素養綜合素質測評（滿分為100分），得到如上的頻率分布直方圖，其中
．求a，b的值，并估計參與測評的學生得分的中位數．（計算結果保留兩位小數）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，右焦點到直線
的距離為3．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線
，
分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
是定義為R的偶函數，且
對任意的
，都有
且當
時， 
，若在區間
內關于
的方程
恰好有3個不同的實數根，則
的取值范圍是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．
（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
對服務好評 | 對服務不滿意 | 合計 | |
對商品好評 | 140 | ||
對商品不滿意 | 10 | ||
合計 | 200 |
（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為X．
①求隨機變量X的分布列；
②求X的數學期望和方差．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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