Question

【題目】2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．

（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	140
對商品不滿意		10
合計			200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為X．

①求隨機變量X的分布列；

②求X的數學期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）①詳見解析②，

【解析】

(1)補充列聯表，根據公式計算卡方值，進行判斷；（2）（ⅰ）每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項分布，按照二項分布的公式進行計算即可得到相應的概率值；（ⅱ）按照二項分布的期望和方差公式計算即可.

（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯表：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	140	40	180
對商品不滿意	10	10	20
合計	150	50	200

則．

由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關．

（2）（ⅰ）每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，

且X的取值可以是0，1，2，3，

則，，

，．

故X的分布列為

X	0	1	2	3
P

（ⅱ）由于X～B（3，），則，．