Question

10．求經過點M（-3，2）和N（-5，-2），且圓心在直線2x-y+3=0上的圓的方程．

Answer 1

分析 由M和N的坐標求出直線MN的斜率，根據兩直線垂直斜率的乘積為-1求出直線MN垂直平分線的斜率，根據垂徑定理得到圓心在弦MN的垂直平分線上，又圓心在已知直線上，聯立兩直線方程組成方程組，求出方程組的解集，得到圓心C的坐標，再利用兩點間的距離公式求出|MC|的長，即為圓的半徑，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答 解：∵M（-3，2）和N（-5，-2），中點坐標（-4，0）
∴直線MN的斜率為$\frac{2+2}{-3+5}$=2，
∴直線MN垂直平分線的斜率為：$-\frac{1}{2}$，其方程為：y=-$\frac{1}{2}$（x+4），即x+2y+4=0
與直線2x-y+3=0聯立解得：x=-2，y=-1，即所求圓的圓心C坐標為（-2，-1），
又所求圓的半徑r=|MC|=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則所求圓的方程為（x+2）²+（y+1）²=10．

點評 本題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：直線斜率的求法，兩直線垂直時斜率滿足的關系，兩點間的距離公式，以及兩直線的交點坐標求法，其中根據垂徑定理得出弦AB的垂直平分線過圓心是解本題的關鍵，是基礎題．