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已知橢圓)的上頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為.若有一個菱形的頂點在橢圓上,該菱形對角線所在直線的斜率為

(1)求橢圓的方程;

(2)當直線過點時,求直線的方程;

(3)當時,求菱形面積的最大值.

 

(1);(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)依題意,b=1,解,得|y|=,所以,由此能求出橢圓的方程.

(2)直線BD:y=-1×(x-1)=-x+1,設AC:y=x+b,由方程組,再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程.

(3)因為四邊形ABCD為菱形,且,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積,由AC2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x2+x1)2-8x1x2,能推導出當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值.

試題解析:(1)依題意, 1分

,得, 2分

所以, 3分

于是橢圓的方程為. 4分

(2)由已知得直線, 5分

設直線 6分

由方程組, 7分

時,

AC的中點坐標為, 8分

因為是菱形,所以的中點在上,

所以,解得,滿足, 9分

所以的方程為. 10分

(3)因為四邊形為菱形,且,所以

所以菱形的面積, 11分

由(2)可得

13分

又因為

所以當且僅當時,菱形的面積取得最大值,最大值為. 14分

考點:1.直線與圓錐曲線的綜合問題;2.直線的一般式方程;3.橢圓的標準方程.

 

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