已知橢圓:
(
)的上頂點為
,過
的焦點且垂直長軸的弦長為
.若有一個菱形
的頂點
、
在橢圓
上,該菱形對角線
所在直線的斜率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當直線過點
時,求直線
的方程;
(3)當時,求菱形
面積的最大值.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)依題意,b=1,解,得|y|=
,所以
,由此能求出橢圓
的方程.
(2)直線BD:y=-1×(x-1)=-x+1,設AC:y=x+b,由方程組得
,再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程.
(3)因為四邊形ABCD為菱形,且,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積
,由AC2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x2+x1)2-8x1x2
,能推導出當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值.
試題解析:(1)依題意, 1分
解,得
, 2分
所以,
, 3分
于是橢圓的方程為
. 4分
(2)由已知得直線:
, 5分
設直線:
,
、
6分
由方程組得
, 7分
當時,
AC的中點坐標為,
, 8分
因為是菱形,所以
的中點在
上,
所以,解得
,滿足
, 9分
所以的方程為
. 10分
(3)因為四邊形為菱形,且
,所以
,
所以菱形的面積
, 11分
由(2)可得
13分
又因為,
所以當且僅當時,菱形
的面積取得最大值,最大值為
. 14分
考點:1.直線與圓錐曲線的綜合問題;2.直線的一般式方程;3.橢圓的標準方程.
科目:高中數學 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學期第一次五校聯考理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,
,則 “a=2”是“
”的( )
A.充要條件 B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數學 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學期第一次五校聯考文科數學試卷(解析版) 題型:填空題
(正四棱錐與球體積選做題)棱長為1的正方體的外接球的體積為________.
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