Question

已知橢圓：（）的上頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．若有一個菱形的頂點、在橢圓上，該菱形對角線所在直線的斜率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）當直線過點時，求直線的方程；

（3）當時，求菱形面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出橢圓的方程．

（2）直線BD：y=-1×（x-1）=-x+1，設AC：y=x+b，由方程組得，再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程．

（3）因為四邊形ABCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，由AC2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=2（x2-x1）2=2（x2+x1）2-8x1x2，能推導出當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值．

試題解析：（1）依題意， 1分

解，得， 2分

所以，， 3分

于是橢圓的方程為． 4分

（2）由已知得直線：， 5分

設直線：，、 6分

由方程組得， 7分

當時，

AC的中點坐標為，， 8分

因為是菱形，所以的中點在上，

所以，解得，滿足， 9分

所以的方程為． 10分

（3）因為四邊形為菱形，且，所以，

所以菱形的面積， 11分

由（2）可得

13分

又因為，

所以當且僅當時，菱形的面積取得最大值，最大值為． 14分

考點：１．直線與圓錐曲線的綜合問題；２．直線的一般式方程；３．橢圓的標準方程．