Question

已知函數f（x）=ax²-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對數的底數，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x²-lnx，x∈（0，e]，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，x∈（0，e]，…（1分）
令f′（x）＞0，得

2

2

＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜

2

2

，
∴f（x）的單調增區間是[

2

2

，e]，單調減區間為（0，

2

2

]．…（4分）
f（x）的極小值為f（

2

2

）=

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2．無極大值．…（5分）
（Ⅱ）假設存在實數a，使f（x）=ax²-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

…（6分）
①當a≤0時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調遞減，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=

4

e2

（舍去）…（8分）
②當a＞0時，令f′（x）=0得：x=

1 2a

，
（ⅰ）當0＜

1 2a

＜e即a＞

1

2e2

時
f（x）在（0，

1 2a

]上單調遞減，在（

1 2a

，e]上單調遞增，
∴f（x）min=f（

1 2a

）=

1

2

-ln

1 2a

=3．得a=

e5

2

．…（10分）
（ⅱ）當

1 2a

≥e即0＜a≤

1

2e2

時，
x∈（0，e]時，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上單調遞減，
∴f(x)min=f(e)=ae2-1=3，a=

4

e2

（舍去），此時f（x）無最小值．
綜上，存在實數a=

e5

2

，使得當x∈（0，e]時，f（x）有最小值3．…（12分）