Question

（2010•臺州二模）在O點測量到遠處有一物體在作勻速直線運動，開始時該物體位于P點，一分鐘后，其位置在Q點，且∠POQ=

π

2

，再過一分鐘后，該物體位于R點，且∠QOR=

π

6

，則tan∠OPQ等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  4

• C．

  9

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由題意可設PQ=x，則QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，在△ORQ中，由正弦定理可得：

OQ

sinR

=

QR

sin30°

⇒OQ=

x•sinR

sin30°

=2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；同理在△OPQ中，OQ=xsin∠OPQ，從而2x•sin（60°-∠OPQ）=xsin∠OPQ，整理可求tan∠OPQ．

解答：解：設PQ=x，則QR=x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，
∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，
在△ORQ中，由正弦定理得：

OQ

sinR

=

QR

sin30°

，即OQ=

x•sinR

sin30°

=2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；
在△OPQ中，同理可求得：OQ=

QP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ，
∴2x•sin（60°-∠OPQ）=x•sin∠OPQ，①，
由于x=PQ＞0，
將①整理可得，

3

cos∠OPQ-sin∠OPQ=sin∠OPQ，即2sin∠OPQ=

3

cos∠OPQ，
∴tan∠OPQ=

3

2

．
故選D．

點評：本題主要考查了利用正弦定理解決實際問題，求解實際問題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題，利用數學知識進行求解，屬于難題．