Question

設函數f（x）=x|x-a|（a∈R）
（1）討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當x∈[0，1]時，f（x）的最大值為

a2

4

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可討論f（x）的奇偶性；
（2）根據函數的最值，結合分段函數即可得到結論．

解答： 解：（1）a=0，f（x）=x|x|，?x∈R，f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數；
a≠0，f（x）=x|x-a|，f（1）=|a-1|，f（-1）=-|a+1|，f（1）±f（-1）≠0，
∴f（x）為非奇非偶函數
（2）f(x)=x|x-a|=

x2-ax x≥a ax-x2 x＜a

①若a≤0，則f(x)max=f(1)=1-a=

a2

4

⇒a=-2-2

2

②若a＞0，則
（ i）

a

2

＞1⇒f(x)max=f(1)=

a2

4

⇒a∈∅
（ ii）

a

2

≤1≤

1+ 2

2

a⇒f(x)max=f(

a

2

)=

a2

4

⇒a∈[2

2

-2，2]
（ iii）1＞

1+ 2

2

a⇒f(x)max=f(1)=

a2

4

⇒a∈∅
綜上：a∈[2

2

-2，2]∪{-2

2

-2}

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷以及函數最值的應用，利用分段函數結合二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．