Question

某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜

π

2

）在某一個周期的圖象時，列表并填入的部分數據如表：

x	x1	1 3	x2	x3	10 3
wx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（wx+φ）	0	3	0	- 3	0

（1）請寫出上表的x₁，x₂，x₃，并直接寫出函數的解析式；
（2）設g（x）=

3

f（x）+f（x-1），當x∈[0，4]時，求g（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由表中數據列關于ω、φ的二元一次方程組，求得ω、φ的值，得到函數解析式，進一步求得x₁、x₂、x₃；
（2）化簡g（x）=2

3

sin（

π

2

x+

π

6

），根據函數的單調區間由

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

確定，解得即可

解答： 解：（1）：由表可知，

1

3

ω+φ=

π

2

，

7

3

ω+φ=

3π

2

，
解得，ω=

π

2

，φ=

π

3

．
由

π

2

x₁+

π

3

=0、

π

2

x₂+

π

3

=π、

π

2

x₃+

π

3

=2π，得
x₁=-

2

3

，x₂=

4

3

，x₃=

7

3

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
（2）g（x）=

3

f（x）+f（x-1）=sin（

π

2

x+

π

3

）+

3

sin（

π

2

x+

π

3

-

π

2

）=2

3

sin（

π

2

x+

π

6

）
當x∈[0，4]時，

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

g（x）的單調遞增區間由

π

6

≤

π

2

x+

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤

π

2

x+

π

6

≤

13π

6

確定，
解得0≤x≤

2

3

，和

8

3

≤x≤4，
∴x∈[0，4]時，求g（x）的單調增區間為[0，

2

3

]和[

8

3

，4]

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性質，訓練了五點作圖法，是中檔題．