Question

已知f₁（x）=log₄x，f₂（x）=log₆x，f₃（x）=log₉x，若f₁（n）=f₂（m）=f₃（m+n），則

m

n

=

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：由題意，log₄n=log₆m=log₉（m+n）=t，則n=4^t，m=6^t，m+n=9^t，可得4^t+6^t=9^t，即1+(

3

2

)t=(

3

2

)2t，
設y=(

3

2

)t（y＞0），則y²-y-1=0，求出y，即可得出結論．

解答： 解：由題意，log₄n=log₆m=log₉（m+n）=t，則n=4^t，m=6^t，m+n=9^t，
∴4^t+6^t=9^t，
∴1+(

3

2

)t=(

3

2

)2t，
設y=(

3

2

)t（y＞0），則y²-y-1=0，
∵y＞0，∴y=

1+ 5

2

，
∴

m

n

=(

3

2

)t=

1+ 5

2

．
故答案為：

1+ 5

2

．

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查對數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．