Question

14．函數(shù)y=$\frac{1}{4}$•2^x和y=$\frac{1}{3}$x²的圖象如圖所示，其中有且只有x=x₁、x₂、x₃時(shí)，兩函數(shù)值相等，且x₁＜0＜x₂＜x₃，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）請指出圖中曲線C₁、C₂分別對應(yīng)的函數(shù)；
（Ⅱ）請判斷以下兩個(gè)結(jié)論是否正確，并說明理由．
①當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²；
②x₂∈（1，2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得曲線C₁、C₂分別對應(yīng)的函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得兩個(gè)結(jié)論的正誤．

解答 解：（Ⅰ）y=$\frac{1}{3}$x²是二次函數(shù)，故與圖中C₁對應(yīng)；
函數(shù)y=$\frac{1}{4}$•2^x是指數(shù)型函數(shù)，故與圖中C₂對應(yīng)；
（Ⅱ）當(dāng)x=-1時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
當(dāng)x=0時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
故x₁∈（-1，0），
故①當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²正確；
當(dāng)x=1時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
當(dāng)x=2時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
當(dāng)x=5時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
當(dāng)x=6時(shí)，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
故x₂∈（1，2），x₃∈（5，6），
故②正確；

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．