Question

定義在[-1，1]上的奇函數f（x），對任意的m，n∈[0，1]，當m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，則不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由條件可得函數f（x）在[-1，1]為減函數，再結合奇函數的定義，不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0即為f（3x-1）＞-f（x-1）=f（1-x），即有

-1≤3x-1≤1 -1≤x-1≤1 3x-1＜1-x

，解出它們，即可得到解集．

解答： 解：對任意的m，n∈[0，1]，當m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，
即為函數f（x）在[0，1]為減函數，
又f（x）為在[-1，1]上的奇函數，即有f（-x）=-f（x），
且f（x）為在[-1，1]上的減函數．
不等式f（3x-1）+f（x-1）＞0即為f（3x-1）＞-f（x-1）=f（1-x），
即有

-1≤3x-1≤1 -1≤x-1≤1 3x-1＜1-x

即有

0≤x≤ 2 3 0≤x≤2 x＜ 1 2

，
則0≤x＜

1

2

，
故解集為[0，

1

2

）．
故答案為：[0，

1

2

）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的運用：解不等式，注意定義域的應用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．