【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓
,如圖所示,斜率為
且不過原點的直線
交橢圓
于兩點
,線段
的中點為
,射線
交橢圓
于點
,交直線
于點
.
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線
過定點.
【答案】(1).(2)見解析
【解析】試題分析:(1)設,聯立直線和橢圓方程,消去
,得到關于的
一元二次方程,利用韋達定理,求出點
的坐標和
所在直線方程,求點
的坐標,利用基本不等式即可求得
的最小值;
(2)由(1)知所在直線方程,和橢圓方程聯立,求得點
的坐標,并代入
,得到
,因此得證直線過定點;
試題解析:(1)設直線 的方程為
,由題意,
,
由方程組,得
,
由題意,所以
,
設,
由根與系數的關系得,所以
,
由于為線段
的中點,因此
,
此時,所以
所在直線的方程為
,
又由題意知,令
,得
,即
,
所以,當且僅當
時上式等號成立,
此時由得
,因此當
且
時,
取最小值
.
(2)證明:由(1)知所在直線的方程為
,
將其代入橢圓的方程,并由
,解得
,
又,
由距離公式及得
,
,
,
由,得
,
因此直線的方程為
,所以直線
恒過定點
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一個人有n把鑰匙,其中只有一把可以打開房門,他隨意的進行試開,若試開過的鑰匙放在一邊,試開次數X為隨機變量,則P(X=k)=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn , 且a2=3,S5=25.
(1)求數列{an}的通項公式an;
(2)設數列{ }的前n項和為Tn , 是否存在k∈N* , 使得等式2﹣2Tk=
成立,若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖, 為圓
的直徑,點
在圓
上,且
,矩形
所在的平面和圓
所在的平面垂直,且
.
(1)求證:平面平面
;
(2)在線段上是否存在了點
,使得
平面
?并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,三角形VAB為等邊三角形,AC⊥BC且 AC=BC= ,O、M分別為AB和VA的中點.
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求直線MC與平面VAB所成角.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(Ⅰ)若曲線在點
處的切線與直線
垂直,求實數
的值;
(Ⅱ)若函數在其定義域上是增函數,求實數
的取值范圍;
(Ⅲ)當時,函數
的兩個極值點為
,且
,若不等式
恒成立,求實數
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列中,
,其前
項和
滿足
.
(1)求證:數列為等差數列,并求
的通項公式;
(2)設 ,求數列
的前
項和
;
(3)設為非零整數
,是否存在
的值,使得對任意
恒成立,若存在求出
的值,若不存在說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知冪函數y=f(x)的圖象過點(8,m)和(9,3).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若函數g(x)=logaf(x)(a>0,a≠1)在區間[16,36]上的最大值比最小值大1,求實數a的值.
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