Question

【題目】輪船在海上航行時，需要借助無線電導航確認自己所在的位置，以把握航向．現有、、三個無線電發射臺，其中在陸地上，在海上，在某國海岸線上，（該國這段海岸線可以近似地看作直線的一部分），如下圖．已知、兩點距離10千米，是的中點，海岸線與直線的夾角為．為保證安全，輪船的航路始終要滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒．（注：無線電信號每秒傳播千米）．在某時刻，測得輪船距離點距離為4千米．

（1）以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如圖），求出該時刻輪船的位置；

（2）根據經驗，船只在距離海岸線1.5千米以內的海域航行時，有擱淺的風險．如果輪船保持目前的航路不變，那么是否有擱淺風險?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據題意，設出點P的坐標，根據題意得出點P的軌跡是雙曲線的一支，根據對應的量，從而求得點P的坐標，得到結果；

（2）根據題意，找出對應的關系，從而求得結果，得到結論.

（1）設輪船在點處，則由題意，得，

∴為以、為焦點，實軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點，

其方程為，又，解得；

（2）海岸線所在直線的方程為，與其平行，

且距離為1.5的直線的方程為，

考慮與是否有交點，

，

∴與沒有交點，

即輪船保持目前的航路不變，沒有擱淺風險．