Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F，點E（

a2

c

，0）（c為橢圓的半焦距）在x軸上，若橢圓的離心率e=

2

2

，且|EF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）若過F的直線交橢圓與A，B兩點，且

OA

+

OB

與向量

m

=（4，-

2

）共線（其中O為坐標原點），求證：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先，根據題意，得到離心率和|EF|=1建立等式，求解標準方程中的參數即可；
（2）首先，設出直線l的方程為：y=k（x-1），然后，聯立方程組，利用根與系數的關系求證即可．

解答： 解：（1）依題意有：

c a = 2 2 a2 c -c=1 a2=b2+c2

，
∴

a= 2 b=1

，
∴橢圓方程：

x2

2

+y2=1------（6分）
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立方程組

y=k(x-1) x2+2y2=2

，整理得：
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，y₁+y₂=-

2k

1+2k2

，
∴

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

)，
由

OA

+

OB

與向量

m

=（4，-

2

）共線，得k=

2

，
故

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴

OA

•

OB

=0．--------（13分）

點評：本題重點考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．解題關鍵是熟練運用橢圓的幾何性質解題．