Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

+

a

x2

（a∈R）．
（1）若a=1，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）內為單調增函數，求實數a的取值范圍；
（3）對于n∈N^*，求證：

n

i=1

i

(i+1)2

＜ln（n+1）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：求導f′（x）=

1

x

+

a

x2

-

2a

x3

=

x2+ax-2a

x3

（x＞0）；
（1）代入a=1，從而可得f′（x）=

(x-1)(x+2)

x3

，從而確定函數的單調性及極值；
（2）f（x）在[1，+∞）內為單調增函數可化為x²+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立；從而化為函數的最值；
（3）由lnx＞

1

x

-

1

x2

（x＞1）可得ln

n+1

n

＞

n

n+1

-

n2

(n+1)2

=

n

(n+1)2

；從而證明．

解答： 解：f′（x）=

1

x

+

a

x2

-

2a

x3

=

x2+ax-2a

x3

（x＞0）；
（1）若a=1，f′（x）=

(x-1)(x+2)

x3

，
令f′（x）＞0解得x＞1，
令f′（x）＜0解得0＜x＜1，
∴f_極小（x）=f（1）=0，無極大值；
（2）∵f（x）在[1，+∞）內為單調增函數，
∴f′（x）=

x2+ax-2a

x3

≥0在[1，+∞）上恒成立．
即x²+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²+ax-2a，
當-

a

2

≤1即a≥-2時，
g（1）≥0，從而得a≤1，
∴-2≤a≤1，
當-

a

2

＞1即a＜-2時，
g（-

a

2

）≥0，
解得，-8≤a≤0，
綜上所述，a∈[-8，1]；
（3）證明：當a=1時，由（2）知，f（x）在[1，+∞）上單調遞增；
即x＞1時，f（x）＞f（1）=0，
即lnx＞

1

x

-

1

x2

（x＞1），
取x=

n+1

n

＞1，
∴ln

n+1

n

＞

n

n+1

-

n2

(n+1)2

=

n

(n+1)2

∴

n

i=1

i

(i+1)2

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）．

點評：本題考查了函數的單調性的應用及導數的應用，同時考查了恒成立問題的處理方法，屬于難題．