Question

設a=

4

π

∫

π 2 - π 2

cos²xdx，則（a

x

-

1

x

）⁶展開式中含x²項的系數是（　　）

A．-192

B．-190

C．192

D．190

Answer 1

分析：先對定積分進行計算得到a的值，然后再根據二項式定理展開式公式求出x²項的系數．

解答：解：∵f(x)=cos2x=

cos2x+1

2

，
∵f（-x）=f（x）∴f（x）為偶函數，
故

∫

0 - π 2

 f(x)dx=

∫

π 2 0

f(x)dx
∵

∫

π 2 0

f(x)dx=

1

2

∫

π 2 0

(cos2x+1)dx=

1

2

(

1

2

sin2x+x+a)

π 2 0

=

π

4

∴

∫

π 2 - π 2

f(x)dx=2•

π

4

=

π

2

又∴a=

4

π

∫

π 2 - π 2

cos²xdx=2
∵(2

x

-

1

x

) 6= (

2x-1

x

) 6=

(2x-1) 6

x 3

由二項式定理得展開式中含有x²的項為：

C 1 6 (2x)5(-1) 1

x 3

=-192x 2
∴展開式中x²的系數為-192
故選A．

點評：本題考查了定積分的運算、二項式定理以及三角的化簡，具有一定的綜合性．