Question

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)因?yàn)橐�使參�?shù)對(duì)函數(shù)值不發(fā)生影響，所以必須保證，據(jù)此可得函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).

(Ⅱ)原問題等價(jià)于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，分類討論有：

①若時(shí)， 不能恒成立.

②若時(shí)， 在時(shí)為極小值點(diǎn)， ，滿足題意時(shí)只需.討論可得要使函數(shù)成立，只有在時(shí)成立.

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論有，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得一定有2個(gè)零點(diǎn)，分別為的一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)極值點(diǎn)，所以最小極值點(diǎn)在內(nèi).據(jù)此整理計(jì)算可得.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)橐�使參�?shù)對(duì)函數(shù)值不發(fā)生影響，所以必須保證，

此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).

（Ⅱ）依題意得： 恒成立，∴恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，

則恒過， ，

①若時(shí)， ，∴在上遞增，

∴不能恒成立.

②若時(shí)， ，∴.

∵時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴在時(shí)為極小值點(diǎn)， ，

∴要使恒成立，只需.

設(shè)，則函數(shù)恒過，

，

， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴在取得極大值0，

∴要使函數(shù)成立，只有在時(shí)成立.

（Ⅲ），設(shè)

，令，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

在處取得極小值

可得一定有2個(gè)零點(diǎn)，分別為的一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

設(shè)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則，∴， ，

因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

所以在區(qū)間上存在一個(gè)極值點(diǎn)，所以最小極值點(diǎn)在內(nèi).

∵函數(shù)的極小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∴函數(shù)的極小值，∴.