Question

【題目】已知數列滿足： ， ， ．

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，且滿足，試確定的值，使得數列為等差數列；

（3）將數列中的部分項按原來順序構成新數列，且，求證：存在無數個滿足條件的無窮等比數列．

Answer 1

【答案】（1）（）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）因為，所以, 數列是首項為，公差為的等差數列，從而求出通項公式；（2）因為，即數列是首項為，公差為的等差數列，所以，計算 ，利用，即可求出；（3）因為， ，先證數列滿足題意，即證此數列中的任何一項都是數列中的項． 令，則只需證即可．本題也可考慮數學歸納法證明.　

試題解析：

（1）因為，所以，

所以數列是首項為，公差為的等差數列．

所以， ，又由題意， ，

所以（）．

（2）由，得，

故，即數列是首項為，公差為的等差數列，

所以， ，令， ，得， ．

若為等差數列，則，解得．

當時， ， ， 為等差數列．

所以，當時，數列為等差數列．

（3）， ，先證數列滿足題意，即證此數列中的任何一項都是數列中的項．

令，則只需證即可．　

此時， ，故．

所以，此數列中的第項是數列中的第項．

（也可以用數學歸納法證明能被整除，證明如下）

① 當時， ，能被整除；

② 假設當（）時結論成立，即能被整除，

那么當時， ，

因為與都能被整除，所以也能被整除，

即時，結論也成立．

由①、②知，當時， 能被整除．

因此，以為首項， ， ，…， ，…為公比的無窮等比數列均滿足題意，命題得證．