Question

7．如圖，某段鐵路AB長為80公里，BC⊥AB，且BC=10公里，為將貨物從A地運往C地，現在AB上的距點B為x的點M處修一公路至點C．已知鐵路運費為每公里2元，公路運費為每公里4元．
（1）將總運費y表示為x的函數．
（2）如何選點M才使總運費最�。�

Answer 1

分析 （1）鐵路AM上的運費為2（80-x），公路MC上的運費為$4\sqrt{100+{x^2}}$，然后列出總運費y表示為x的函數．
（2）利用函數的導數求解函數的最值即可．

解答 解：（1）依題意，鐵路AM上的運費為2（80-x），
公路MC上的運費為$4\sqrt{100+{x^2}}$，
則由A到C的總運費為$y=2（{80-x}）+4\sqrt{100+{x^2}}（{0≤x≤80}）$．
…（6分）
（2）$y'=-2+\frac{4x}{{\sqrt{100+{x^2}}}}（{0≤x≤80}）$，…（8分）
令y'=0，解得$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，或$x=-\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$（舍）．…（10分）
當$0≤x≤\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時，y'≤0；當$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}≤x≤80$時，y'≥0；
故當$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時，y取得最小值，
即當在距離點B為$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$公里時的點M處修筑公路至C時總運費最�。�…（12分）

點評 本題考查函數的實際應用，函數的導數的應用，最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．