Question

已知

a

=(cosx，-sin2x)，

b

=(6sinx+

3

cosx，

3

)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）若x∈[0，

5π

12

]，求函數f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值時相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合二倍角公式，輔助角公式，化簡函數，周期利用正弦函數的性質，即可求得函數的單調減區間；
（2）由（1）知，f（x）在[0，

π

6

]上單調遞增，在[

π

6

，

5π

12

]上單調遞減，從而可得函數的最值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，-sin2x)，

b

=(6sinx+

3

cosx，

3

)，
∴函數f(x)=

a

•

b

=3sin2x+

3

cos2x=2

3

sin（2x+

π

6

）（x∈R）
∴T=

2π

2

=π
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ
∴函數的單調減區間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）
（2）由（1）知，f（x）在[0，

π

6

]上單調遞增，在[

π

6

，

5π

12

]上單調遞減
∴x=

π

6

時，f（x）有最大值f（

π

6

）=2

3

∵f（0）=

3

＞f（

5π

12

）=0
∴x=

5π

12

時，函數有最小值f（

5π

12

）=0

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查函數的單調性與最值，正確化簡函數是關鍵．