Question

已知

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的減區間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的坐標求得函數f（x）得解析式，然后利用兩角和公式對解析式進行化簡整理，進而根據正弦函數的性質求得函數的最小正周期，根據正弦函數的單調性求得三角函數遞減時2x+

π

4

的范圍，進而確定x的范圍，求得函數的減區間．
（2）根據x的范圍確定2x+

π

4

的范圍，進而確定sin（2x+

π

4

）的范圍，進而根據正弦函數的單調性求得函數的最大和最小值．

解答：解：由題意，得f(x)=

a

•

b

=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π，

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
解得

π

8

+kπ≤x≤

5

8

π+kπ，k∈Z
∴f（x）的減區間為：[

π

8

+kπ，

5

8

π+kπ]，k∈Z
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
故f(x)max=f(

π

8

)=

2

，f(x)min=f(

π

2

)=-1

點評：本題主要考查了三角函數的最值，平面向量積的運算，三角函數的周期性以及兩角和公式的化簡求值．考查了學生對基礎知識點綜合的運用．